Σε μικρή κατσαρόλα βάζουμε 2 -3 κουτ. σούπας ελαιόλαδο και μόλις ζεσταθεί σοτάρουμε τον κιμά. Προσθέτουμε τις ντομάτες κομμένες σε μικρούς κύβους, αλάτι πιπέρι και τα φύλλα δυόσμου. Βράζουμε μέχρι να σωθούν τα υγρά και αφήνουμε να κρυώσει.

Πλένουμε τα πράσα και τα κόβουμε σε μικρές ροδέλες.

Σε ένα τηγάνι βάζουμε 2 κουτ. σούπας ελαιόλαδο και σοτάρουμε τα πράσα για 10 λεπτά. Αλατοπιπερώνουμε προσθέτουμε ελάχιστο ζεστό νερό και αφήνουμε να βράσουν μέχρι να μην υπάρχουν υγρά.

Σε αλατισμένο νερό που βράζει ρίχνουμε τις χυλοπίτες και βράζουμε για 3 λεπτά. Στραγγίζουμε.

Καθαρίζουμε το σκόρδο το λιώνουμε με πρέσα και το προσθέτουμε στο γιαούρτι μαζί με το πιπέρι καγιέν. Ανακατεύουμε καλά με ένα σύρμα ή μια πλαστική σπάτουλα.

Στρώνουμε σε βουτυρωμένο ταψί τις μισές χυλοπίτες και σκορπάμε λίγο από το τριμμένο κεφαλοτύρι. Συνεχίζουμε με τα πράσα και μετά με το γιαούρτι.

Στρώνουμε πάνω από το γιαούρτι τον κιμά.

Συνεχίζουμε με τις υπόλοιπες χυλοπίτες. Χτυπάμε τα αυγά με το βούτυρο αφού το έχουμε λιώσει και περιχύνουμε τις χυλοπίτες.

Πασπαλίζουμε με το υπόλοιπο κεφαλοτύρι και ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180 βαθμούς και αέρα στο κάτω ράφι του φούρνου για 40 λεπτά. Καλό είναι τα πρώτα 30 λεπτά να σκεπάσουμε το ταψί με αλουμινόχαρτο.

Βγάζουμε από το φούρνο αφήνουμε να κρυώσει λίγο και σερβίρουμε.