Κόβουμε τη μελιτζάνα σε ροδέλες, την αλατίζουμε και την αφήνουμε σε σουρωτήρι για μισή ώρα. Σε ένα ταψί στρωμένο με χαρτί ψησίματος αραδιάζουμε τα κομμάτια μελιτζάνας τις πιπεριές και το σκόρδο. Ραντίζουμε με ελαιόλαδο και ψήνουμε στους 180 βαθμούς κι αέρα στο μεσαίο ράφι του φούρνου για 20-25 λεπτά γυρίζοντας τα μια φορά.
Βγάζουμε την πιπεριά και την κλείνουμε σε σακουλάκι ώστε να μπορέσουμε να αφαιρέσουμε τη φλούδα της.
Σε επεξεργαστή τροφίμων βάζουμε το βασιλικό και το πεκορίνο και χτυπάμε να γίνει σαν τρήματα ψωμιού. Προσθέτουμε τη μισή πιπεριά το σκόρδο το μπούκοβο και λίγο ελαιόλαδο και χτυπάμε να γίνει μια πηχτή σάλτσα.
Σε νερό αλατισμένο που βράζει προσθέτουμε τα gnocchi και βράζουμε για δύο λεπτά. Αφαιρούμε με τρυπητή κουτάλα.
Σερβίρουμε προσθέτοντας τις ψημένες μελιτζάνες την υπόλοιπη πιπεριά σε λωρίδες και τη σάλτσα. Τρίβουμε λίγο πιπέρι και προσθέτουμε από πάνω λίγο πεκορίνο. Δίπλα στο πιάτο βάζουμε τη ρόκα ή τα πράσινα φύλλα με έξτρα παρθένο ελαιόλαδο και ξύδι βαλσαμικό.