Ανάβουμε το φούρνο στους 180 βαθμούς κι αέρα και ξεκινάμε ψήνωντας τους ξηρούς καρπούς στο μεσαίο ράφι του φούρνου για 6-8 λεπτά. Αφήνουμε να κρυώσουν.

Πλένουμε - καθαρίζουμε τα λαχανικά και τα κόβουμε σε μέτρια κομμάτια. Σε ένα ταψί στρωμένο με χαρτί ψησίματος βάζουμε όλα τα λαχανικά τα περιχύνουμε με το ελαιόλαδο το ξύδι και αλατοπιπερώνουμε. Ανακατεύουμε με μια κουτάλα, τα απλώνουμε και τα ψήνουμε στο μεσαίο ράφι του φούρνου για 20-25 λεπτά ελέγχοντας να μην παραψηθούν αλλά να είναι τραγανά. Βγάζουμε από το φούρνο κι αφήνουμε να μας περιμένουν.

Όση ώρα ψήνονται τα λαχανικά φτιάχνουμε τη βάση της τάρτας. Σε δυνατό μπλέντερ βάζουμε τους ψημένους ξηρούς καρπούς τα κάστανα, το πετιμέζι, το δεντρολίβανο, λίγο αλάτι και το λάδι καρύδας. Χτυπάμε δυνατά μέχρι να πάρουμε μια ζύμη που να κολλάει.

Σε μια λαμαρίνα ή ταψί στρώνουμε χαρτί ψησίματος (25 χ 35 εκατ περίπου) Ανοίγουμε τη ζύμη με τη βοήθεια μικρού πλάστη να απλωθεί σε όλο το χαρτί ομοιόμορφα. Για καλύτερη ευκολία απλώστε και ένα χαρτί ψησίματος από πάνω και περάστε τον πλάστη. Αφαιρέστε το πριν βάλετε τη βάση στο φούρνο.

Ψήνουμε τη βάση της τάρτας για 10 λεπτά μέχρι να χρυσίσει η επιφάνεια.

Όσο η βάση ψήνεται φτιάχνουμε το πέστο. Σε μπλέντερ τοποθετούμε όλα τα υλικά και χτυπάμε δυνατά μέχρι να ομοιγενοποιηθούν.

Απλώνουμε πάνω από τη βάση της τάρτας το πέστο και μοιράζουμε τα λαχανικά. Γαρνίρουμε με φύλλα βασιλικού και σερβίρουμε.